Теория очередей. закономерности образования очередей и способы предсказания среднего размера очереди Средняя длительность ожидания

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Уральский Государственный Технический Университет – УПИ»

Теория очередей. Закономерности образования очередей и способы предсказания среднего размера очереди.

По дисциплине: Теория информационных процессов и систем

Екатеринбург, 2007г.

ВВЕДЕНИЕ
1. КЛАССИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ЭРЛАНГА
1.1. Составление уравнений
1.2. Определение стационарного решения
1.3. Некоторые подготовительные результаты
1.4. Определение функции распределения длительности ожидания
1.5. Средняя длительность ожидания
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
2.1. Математическая модель
2.2. Решение поставленной задачи
2.3. Анализ результатов
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Введение.

Во многих областях практической деятельности человека мы сталкиваемся с необходимостью пребывания в состоянии ожидания. Подобные ситуации возникают в очередях, в билетных кассах, в крупных аэропортах, при ожидании обслуживающим персоналом самолетов разрешение на взлет или посадку, на телефонных станциях в ожидании освобождения линии абонента, в ремонтных цехах, в ожидании ремонта станков и оборудования, на складах организации в ожидании разгрузки или погрузки транспортных средств.

В теории систем массового обслуживания обслуживаемый объект называют требованием . В общем случае под требованием обычно понимают запрос на удовлетворение некоторой потребности, например, разговор с абонентом, посадка самолета, покупка билета, получение материалов на складе.

Средства, обслуживающие требования, называются обслуживающими устройствами или каналами обслуживания. Например, к ним относятся каналы телефонной связи, посадочные полосы, мастера-ремонтники, би­летные кассиры, погрузочно-разгрузочные точки на базах и складах.

Системы массового отсчета с ожиданием распространены наиболее широко. Эти системы определяют так же, как системы с ограниченным входящим потоком. Их можно разделить на две группы:

1) Замкнутые - системы, в которых поступающий поток требований ограничен. Например, мастер, задачей которого является наладка станков в цехе, должен периодически их обслуживать. Каждый налаженный станок становится в будущем потенциальным источником требований на наладку. В подобных системах общее число циркулирующих требований конечно и чаще всего постоянно.

2) Если питающий источник обладает бесконечным числом требований, то системы называются разомкнутыми. Примерами подобных систем могут служить магазины, кассы вокзалов, портов и др. Для этих систем поступающий поток требований можно считать неограниченным.

Основными элементами СМО являются: входящий поток требований, очередь требований, обслуживающие устройства, (каналы) и выходящий поток требований.

Это можно изобразить так:

https://pandia.ru/text/78/375/images/image001_340.jpg" width="61" height="19">Входящий поток Очередь

Обслуживающие устройства Выходящий поток

Изучение СМО начинается с анализа входящего потока требований. Входящий поток требований представляет собой совокупность тре­бований, которые поступают в систему и нуждаются в обслуживании. Входящий поток требований изучается с целью установления закономер­ностей этого потока и дальнейшего улучшения качества обслуживания.

В большинстве случаев входящий поток неуправляем и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является также ин­тервал времени между соседними поступающими требованиями. Однако среднее количество требований, поступивших в единицу времени, и средний интервал времени между соседними поступающими требованиями предполагаются заданными.

Среднее число требований, поступающих в систему обслуживания за единицу времени, называется интенсивностью поступления требований и определяется следующим соотношением:

где Т - среднее значение интервала между поступлением очередных требований.

Для многих реальных процессов поток требований достаточно хоро­шо описывается законом распределения Пуассона. Такой поток называет­ся простейшим.

Простейший поток обладает такими важными свойствами:

1) Свойством стационарности , которое выражает неизменность вероятностного режима потока по времени. Это значит, что число требований, поступающих в систему в равные промежутки времени, в среднем должно быть постоянным. Например, число вагонов, поступающих под погрузку в среднем в сутки должно быть одинаковым для различных перио­дов времени, к примеру, в начале и в конце декады.

2) Отсутствия последействия , которое обуславливает взаимную не­зависимость поступления того или иного числа требований на обслужи­вание в непересекающиеся промежутки времени. Это значит, что число требований, поступающих в данный отрезок времени, не зависит от чис­ла требований, обслуженных в предыдущем промежутке времени. Напри­мер, число автомобилей, прибывших за материалами в десятый день ме­сяца, не зависит от числа автомобилей, обслуженных в четвертый или любой другой предыдущий день данного месяца.

3) Свойством ординарности, которое выражает практическую невозмож­ность одновременного поступления двух или более требований (вероят­ность такого события неизмеримо мала по отношению к рассматриваемому промежутку времени, когда последний устремляется к нулю).

Первые математические работы по системам обслуживания появились в начале двадцатого века. Они были тесно связаны с практическими задачами, касавшимися вопросов обслуживания телефонных линий, определения оптимального количества касс и продавцов в торговых предприятиях, выработки правил расчета запасов в магазинах, достаточных для их бесперебойной работы. Среди этих работ особо важное место занимают исследования датского ученого.

1. Классическая задача Эрланга.

Рассмотрим классическую задачу Эрланга: На m одинаковых приборов поступает простейший поток требований интенсивности l . Если в момент поступления требования имеется хотя бы один свободный прибор, оно немедленно начинает обслуживаться. Если же все приборы заняты, то вновь поступившее требование становится в очередь за всеми теми требованиями, которые поступили раньше и еще не начали обслуживаться. Освободившийся прибор немедленно приступает к обслуживания очередного требования, если только имеется очередь. Каждое требование обслуживается только одним прибором, и каждый прибор обслуживает в каждый момент не более одного требования.

Длительность обслуживания представляет собой случайную величину с одним и тем же распределением вероятностей F(x) .

За x берем время (часы, минуты и т. д.).

Предполагается, что при x ³ 0

F(x) = 1 - e- m x

где m > 0 - постоянная.

Эрланг решил эту задачу, имея в виду постановки вопросов возникших к тому времени в телефонном деле.

Выбор распределения вероятностей F(x) для описания деятельности обслуживания произведен не случайно. Дело в том, что в этом предположении задача допускает простое решение, которое с удовлетворительной для практики точности описывает ход интересующего нас процесса. Мы увидим, что распределение вероятностей F(x) играет в теории массового обслуживания исключительную роль, которая в значительной мере вызвана следующим свойством:

При показательном распределении длительности обслуживания распределение деятельности оставшейся части работы по обслуживанию не зависит от того, сколько оно уже продолжалось.

Действительно, пусть fa(t) означает вероятность того, что обслуживание, которое уже продолжается время a , продлится еще не менее чем t . В предположении, что длительность обслуживания распределена показательно, f0(t)=e- m t .

f 0 (a )= e - m a и f 0 (a + t )= e - m (a +1) .

А так как всегда

f0(a+t) = f0(a) fa(t), то e- m (a+t) = e- m a f0(t)

и, следовательно,

fa(t) = e- m t = fo(t).

Требуемое доказано.

Несомненно, что в реальной обстановке показательное время обслуживания является, как правило, лишь грубым приближением к действительности. Так, нередко время обслуживания не может быть меньше, чем некоторая определенная величина. Предположение распределения вероятностей F(x) приводит к тому, что значительная доля требований нуждается лишь в кратковременной операции близкой к 0. Позднее перед нами возникает задача освобождения от излишнего ограничения, накладываемого предположением распределения вероятностей F(x) . Необходимость этого была ясна уже самому Эрлангу, и он в ряде работ делал усилия найти иные удачные распределения для длительности обслуживания. В частности, им было предложено так называемое распределение Эрланга , плотность распределения которого дается формулой

где, m > 0, а k - целое положительное число.

Распределение Эрланга представляет собой распределение суммы k независимых слагаемых, каждое из которых имеет распределение вероятностей F(x)

Обозначим для случая распределения вероятностей F(x) через h время обслуживания требования. Тогда средняя длительность обслуживания равна

Это равенство дает нам способ оценки параметра m по опытным данным. Как легко вычислить, дисперсия длительности обслуживания равна

1. Составление уравнений.

Система с ожиданием в случае простейшего потока и показательного времени обслуживания представляет собой случайный процесс Маркова.

Найдём те уравнения, которым удовлетворяют вероятности Pk(t). Одно из уравнений очевидно, а именно для каждого t

Найдем сначала вероятность того, что в момент t+h все приборы свободны. Это может произойти следующими способами:

В момент t все приборы были свободны и за время h новых требований не поступало;

В момент t один прибор был занят обслуживанием требования, все остальные приборы свободны; за время h обслуживание требования было завершено и новых требований не поступило.

Остальные возможности, как-то: были заняты два или три прибора и за время h работа на них была закончена - имеют вероятность o(h), как легко в этом убедится.

Вероятность первого из указанных событий равна

вероятность второго события

Таким образом,

Отсюда очевидным образом приходим к уравнению

Перейдем теперь к составлению уравнений для Pk(t) при k ³ 1. Рассмотрим отдельно два различных случая:

1) Пусть вначале 1 £ k < m . Перечислим только существенные состояния, из которых можно прийти в состояние Ek в момент t+h . Эти состояния таковы:

В момент t Ek , за время h новых требований не поступило, и ни один прибор не окончил обслуживания. Вероятность этого события равна

В момент t система находилась в состоянии Ek-1 , за время h поступило новое требование, но ни одно ранее находившееся требование не было закончено обслуживанием. Вероятность этого события равна

В момент t система находилась в состоянии Ek+1 , за время h новых требований не поступило, но одно требование было обслужено. Вероятность этого равна

Все остальные мыслимые возможности перехода в состояние Ek за промежуток времени h имеют вероятность, равную 0(h).

Собрав воедино найденные вероятности, получаем следующее

равенство:

Несложные преобразования приводят нас к такому уравнению

для 1 £ k < m:

2) Подобные же рассуждения для k ³ m приводят к уравнению

Для определения вероятностей Pk(t) мы получили бесконечную систему дифференциальных уравнений. Ее решение представляет несомненные технические трудности.

2. Определение стационарного решения.

В теории массового обслуживания обычно изучают лишь установившееся решение для t ® ¥ . Существование таких решений устанавливается так называемыми эргодическими теоремами. В рассматриваемой задаче оказывается, что предельные или, как говорят обычно, стационарные вероятности существуют. Введем для них обозначения Pk . Заметим, что при t ® ¥ .

Сказанное позволяет заключить, что уравнения

для стационарных вероятностей принимают следующий вид:

при 1 £ k < m

при k ³ m

К этим уравнениям добавляется нормирующее условие

Для решения полученной бесконечной алгебраической системы введем обозначения:

при 1 £ k < m

при k ³ m

Система уравнений в этих обозначениях принимает такой вид:

z1 = 0, zk - zk+1 = 0 при k ³ 1

Отсюда заключается, что при всех k ³ 1 zk = 0

т. е. при 1 £ k < m

k m Pk = l Pk-1

и при k ³ m

m m Pk= l Pk-1

Введем для удобства записи обозначение

r = l / m .

Уравнение k m Pk = l Pk-1 позволяет заключить, что при 1 £ k < m

При k ³ m из уравнения m m Pk= l Pk-1 находим, что

и следовательно, при k ³ m

Остается найти P0. Для этого в подставляем выражения полученного Pk.

В результате

Так бесконечная сумма, стоящая в квадратных скобках, находится только при условии, что

r < m

то при этом положении находим равенство

Если условие r < m не выполнено, т. е. если r ³ m, то ряд, стоящий в квадратной скобке уравнения для определения P0 , расходится и, значит, P0 должно быть равно 0..gif" width="71" height="44 src=">при всех k ³ 1 оказывается Pk = 0.

Методы теории цепей Маркова позволяют заключить, что при r ³ m с течением времени очередь стремится к ¥ по вероятности.

3. Некоторые подготовительные результаты.

Для задачи с ожиданием основной характеристикой качества обслуживания является длительность ожидания требованием начала обслуживания. Длительность ожидания представляет собой случайную величину, которую обозначим буквой g . Рассмотрим сейчас только задачу определения распределения вероятностей длительности ожидания в уже установившемся процессе обслуживания. Обозначим далее через P { g > t } вероятность того, что длительность ожидания превзойдет t, и через Pk { g > t } вероятность неравенства, указанного в скобке, при условии, что в момент поступления требования, в очереди уже находится k требований. В силу формулы полной вероятности имеем равенство

P { g > t } = .

Прежде чем преобразовать эту формулу к виду, удобному для пользования, приготовим некоторые необходимые нам для дальнейшего сведения.

Вычислим теперь вероятность того, что все приборы будут заняты в какой-то наудачу взятый момент. Очевидно, что эта вероятность равна

4. Определение функции распределения длительности ожидания.

Если в момент поступления требования в очереди уже находились k - m требований, то поскольку обслуживание происходит в порядке очередности, вновь поступившее требование должно ожидать, когда будут обслужены

k – m + 1 требований.

Пусть qs(t) означает вероятность того, что за промежуток времени длительности t после поступления интересующего нас требования закончилось обслуживание ровно S требований. Ясно, что k ³ m имеет место равенство

Так как распределение длительности обслуживания предположено показательным и независящим ни от того, сколько требований находится в очереди, ни от того, как велики длительности обслуживания других требований, то вероятность за время t не завершить ни одного обслуживания (т. е. вероятность того, что не освободится ни один из приборов) равна

Если все приборы заняты обслуживанием и еще имеется достаточная очередь требований, которые ожидают обслуживания, то поток обслуженных требований будет простейшим. Действительно, в этом случае все три условия - стационарность, отсутствие последействия и ординарность - выполнены. Вероятность освобождения за промежуток времени t ровно s приборов равна (это можно показать и простым подсчетом)

и, следовательно,

Но вероятности Pk известны:

очевидными преобразованиями приводим правую часть последнего равенства к виду

Из формул и следует, что , поэтому при t>0

.

Само собой разумеется, что при t<0 .

Функция имеет в точке t = 0 разрыв непрерывности, равный вероятности застать все приборы занятыми.

5. Средняя длительность ожидания.

Формула позволяет находить все интересующие нас числовые характеристики длительности ожидания. В частности, математическое ожидание длительности ожидания начала обслуживания или, как предпочитают говорить, средняя длительность ожидания равна

Несложные вычисления приводят к формуле

Дисперсия величины g равна

.

Формула дает среднюю длительность ожидания одного требования. Найдем среднюю потерю времени требованиями, пришедшими в систему обслуживания в течение промежутка времени T . За время T в систему поступает l T требований в среднем; общая потеря ими времени на ожидание в среднем равна

Приведем небольшие арифметические подсчеты, которые про­демонстрируют нам, как быстро возрастают суммарные потери времени па ожидание с изменением величины . При этом мы ограничиваемся случаем Т=1 и рассматриваем лишь самые малые значения т: т = 1 и т = 2.

При т=1 в силу (20)

При р = 0,1; 0,3; 0,5; 0,9 значение приблизительно равно 0,011; 0,267; 0,500; 1,633; 8,100.

При m = 2 в силу (24)

При = 0,1; 1,0; 1,5; 1,9 значение приблизительно равно 00003; 0,333; 1,350; 17,537.

Приведённые данные иллюстрируют хорошо известный факт относительно большой чувствительности систем обслуживания, уже достаточно сильно загруженных, к возрастанию загрузки. Потребитель при этом сразу ощущает значительное возрастание длительности ожидания. Этот факт обязательно следует учитывать при расчёте загрузки оборудования в системах массового обслуживания.

Постановка задачи.

На станции технического обслуживания (СТО) легковых автомобилей имеется 7 рабочих мест по обслуживанию клиентов. По статистическим данным в час поступает 2 заявки на обслуживания легковых автомобилей. Среднее время обслуживания 1 заявки составляет 3 часа 24 минуты.

Если поступивший клиент застает на СТО весь рабочий персонал занятым, то он встает в очередь и ждет до тех пор, пока не освободится рабочее место.

Каждый мастер, в любой момент времени, может обслуживать не более одного клиента. Обслуженный клиент покидает СТО.

Проанализировать структуру и процесс обслуживания СТО. Для этого требуется разработать показатели эффективности систем массового обслуживания. Например, требуется знать: вероятность того, что занято или свободно k приборов; распределение вероятностей свободных или занятых приборов от обслуживания; вероятность того, что в очереди находится заданное число требований; вероятность того, что время ожидания в очереди превысит заданное. К показателям, характеризующих эффективное функционирование системы в среднем, относятся: средняя длина очереди; среднее число занятых приборов; коэффициент загрузки системы.

1. Математическая модель.

Имеем систему массового обслуживания, из n = 7 идентичных приборов, на которую поступает поток требований α = 2, интенсивностью β = 0,29411(1/ч).

При простейшем потоке требований распределение требований, поступающих в систему подчиняются закону распределения Пуассона:

вероятность DIV_ADBLOCK171">

где https://pandia.ru/text/78/375/images/image057_47.gif" width="231 height=25" height="25">

где https://pandia.ru/text/78/375/images/image059_45.gif" width="15 height=28" height="28">.gif" width="716 height=299" height="299">

Рис.1. Требование в системе.

Пусть D t – достаточно малый промежуток времени. Вероятность того, что в СМО за время D t не поступит ни одного требования:

Вероятность того, что в СМО за время Dt поступит одно требование:

Вероятность того, что за время Dt в СМО поступит два или более требований:

Вероятность того, что за время Dt требование будет обслужено:

Вероятность того, что за время Dt будет обслужено два или более требования:

Вероятность того, что за время Dt будет обслужено одно из к требований, находящихся в системе, найдем следующим образом:

Https://pandia.ru/text/78/375/images/image069_37.gif" width="381 height=48" height="48">;

Теория массового обслуживания (теория очередей)

Модель теории очередей используется для определения оптимального числа каналов обслуживания по отношению к потребности в них. К ситуациям, в которых модели теории очередей могут быть полезны, можно отнести звонки людей через телефонную станцию, выход в Интернет через провайдера, обслуживание покупателей в магазине или банке, разгрузка грузовиков на транспортном терминале. В любом случае принципиальная проблема заключается в уравновешивании расходов на дополнительные каналы обслуживания (больше оборудования на АТС, больше модемов у провайдера, больше кассиров и клерков, больше людей и техники для разгрузки грузовиков) и потерь от обслуживания на уровне ниже оптимального (потребители обращаются к другой компании, грузовики стоят под разгрузкой вместо использования их по прямому назначению).

Управление запасами

Модели управления запасами используется для определения времени размещения заказов на ресурсы и их количества, а также массы готовой продукции на складах. Любая организация должна поддерживать некоторый уровень запасов во избежание задержек на производстве и в сбыте. Цель данной модели - сведение к минимуму отрицательных последствий накопления запасов, что выражается в определенных издержках.

Поддержание высокого уровня запасов избавляет от потерь, обусловливаемых их нехваткой. Закупка в больших количествах материалов, необходимых для создания запасов, во многих случаях сводит к минимуму издержки на размещение заказов, поскольку фирма может получить соответствующие скидки и снизить объем «бумажной работы». Однако эти потенциальные выгоды перекрываются дополнительными издержками типа расходов на хранение, перегрузку, затрат на страхование, потерь от порчи, воровства и дополнительных налогов. Кроме того, руководство должно учитывать возможность связывания оборотных средств избыточными запасами, что препятствует вложению капитала в приносящие прибыль акции, облигации и др.

Может быть выбрана одна из разновидностей моделей управления запасами: модель с фиксированным количеством, модель с фиксированным временем и др.

Сетевое планирование

Модели сетевого планирования используются при управлении сложными многоэтапными проектами (строительство здания, разработка нового продукта и т.п.) Методы сетевого планирования позволяют оптимизировать выполнение проекта, определить и улучшить характеристики его критических этапов и т.п.

Имитационное моделирование

Все описанные выше модели подразумевают применение имитации в широком смысле, поскольку все они являются заменителями реальности. В узком смысле, имитация состоит в использовании некоего устройства для имитации реальной системы для того, чтобы исследовать и понять ее свойства, поведение и характеристики. Имитация используется в ситуациях, слишком сложных для математически методов типа линейного программирования. Это может быть связано с чрезмерно большим числом переменных, трудностью математического анализа определенных зависимостей между переменными или высоким уровнем неопределенности. Примером может служить метод Монте-Карло .

Экономический анализ

Экономический анализ вбирает в себя почти все методы оценки издержек и экономических выгод, а также относительной рентабельности деятельности предприятия. Типичная экономическая модель основана на анализе безубыточности , методе принятия решений с определением точки (объема производства), в которой общий доход уравнивается с суммарными издержками, т.е. точки, начиная с которой предприятие становится прибыльным. Точка безубыточности (break-even point - BEP) определяется делением постоянных издержек на цену единицы продукции за вычетом переменных издержек на ее изготовление (данная формула может применяться в простейшем линейном случае).

Метод дерева решений

Дерево решений - схематичное представление проблемы принятия решений. Дерево решений дает руководителю возможность учесть различные направления действий, соотнести с ними финансовые результаты, скорректировать их в соответствии с приписанной им вероятностью, а затем сравнить альтернативы.

Эта теория представляет особый раздел теории случайных процессов и использует, в основном, аппарат теории вероятностей. Первые публикации в этой области относятся к 20-м гг. XX в. и принадлежат датчанину А. Эрлангу, занимавшемуся исследованиями функционирования телефонных станций - типичных СМО, где случайны моменты вызова, факт занятости абонента или всех каналов, продолжительность разговора. В дальнейшем теория очередей нашла развитие в работах многих советских и зарубежных математиков.

Теория очередей, - раздел теории вероятностей, изучающий математические модели разного рода реальных массового обслуживания систем. Эти модели представляют собой случайные процессы специального вида, которые называются иногда процессами обслуживания. Чаще всего используется описательное определение этих процессов, поскольку формальное их построение оказывается весьма сложным и не всегда эффективным.

Теория массового обслуживания использует главным образом аппарат теории вероятностей. Основные задачи теории массового обслуживания обычно состоят в том, чтобы на основании "локальных" свойств рассматриваемых случайных процессов изучить их стационарные характеристики (если таковые существуют) или поведение этих характеристик за большой промежуток времени. Одна из главных конечных целей исследований в этой области состоит в выборе наиболее разумной организации систем массового обслуживания.

Системы массового обслуживания (СМО)-- это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если таковое имеется в блоке ожидания.

Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.

Примерами систем массового обслуживания могут служить: Магазины, банки, ремонтные мастерские, почтовые отделения, посты технического обслуживания автомобилей, посты ремонта автомобилей, персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требования на решение тех или иных задач, аудиторские фирмы, отделы налоговых инспекций, занимающиеся приемкой и проверкой текущей отчетности предприятий, телефонные станции и т.д.

Основными компонентами системы массового обслуживания любого вида являются:

входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание;

дисциплина очереди;

механизм обслуживания.

Входной поток требований. Для описания входного потока требуется задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении. При этом, как правило, оперируют понятием «вероятностное распределение моментов поступления требований». Здесь могут поступать как единичные, так и групповые требования (требования поступают группами в систему). В последнем случае обычно речь идет о системе обслуживания с параллельно-групповым обслуживанием.

Дисциплина очереди -- это важный компонент системы массового обслуживания, он определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:

• - первым пришел - первый обслуживаешься;
• - пришел последним -- обслуживаешься первым;
• - случайный отбор заявок;
• - отбор заявок по критерию приоритетности;
• - ограничение времени ожидания момента наступления обслуживания (имеет место очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания, что ассоциируется с понятием «допустимая длина очереди»).

Механизм обслуживания определяется характеристиками самой процедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы. К характеристикам процедуры обслуживания относятся: продолжительность процедуры обслуживания и количество требований, удовлетворяемых в результате выполнения каждой такой процедуры. Для аналитического описания характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием «вероятностное распределение времени обслуживания требований».

Следует отметить, что время обслуживания заявки зависит от характера самой заявки или требований клиента и от состояния и возможностей обслуживающей системы. В ряде случаев приходится также учитывать вероятность выхода обслуживающего прибора по истечении некоторого ограниченного интервала времени.

Структура обслуживающей системы определяется количеством и взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и т. п.). Прежде всего, следует подчеркнуть, что система обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько; система такого рода способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживание.

Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое требование, т. е. в обслуживающей системе процедуры обслуживания требований реализуются последовательно. Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.

Рассмотрев основные компоненты систем обслуживания, можно констатировать, что функциональные возможности любой системы массового обслуживания определяются следующими основными факторами:

• - вероятностным распределением моментов поступлений заявок на обслуживание (единичных или групповых);
• - вероятностным распределением времени продолжительности обслуживания;
• - конфигурацией обслуживающей системы (параллельное, последовательное или параллельно-последовательное обслуживание);
• - количеством и производительностью обслуживающих каналов;
• - дисциплиной очереди;
• - мощностью источника требований.

В качестве основных критериев эффективности функционирования систем массового обслуживания, в зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:

• - вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки;
• - вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки;
• - относительная и абсолютная пропускная способность системы;
• - средний процент заявок, получивших отказ в обслуживании;
• - среднее время ожидания в очереди;
• - средняя длина очереди;
• - средний доход от функционирования системы в единицу времени и т.п.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности системы массового обслуживания, и эффективностью ее функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие системы массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам.

Независимо от характера процесса, протекающего в системе массового обслуживания, различают два основных вида СМО:

• - системы с отказами, в которых заявка, поступившая в систему в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и сразу же покидает очередь;
• - системы с ожиданием (очередью), в которых заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, становится в очередь и ждет, пока не освободится один из каналов.

Системы массового обслуживания с ожиданием делятся на системы с ограниченным ожиданием и системы с неограниченным ожиданием.

В системах с ограниченным ожиданием может ограничиваться:

• - длина очереди;
• - время пребывания в очереди.

В системах с неограниченным ожиданием заявка, стоящая в очереди, ждет обслуживание неограниченно долго, т.е. пока не подойдет очередь.

По количеству каналов обслуживания СМО подразделяются на следующие группы:

Одноканальные СМО. Она состоит из одной очереди и одного устройства обслуживания. Термин "одноканальная" говорит о том, что к устройству обслуживания ведет только один путь.

Многоканальные СМО. Обслуживание очередной заявки может начаться до окончания обслуживания предыдущей заявки. Каждый канал действует как самостоятельное обслуживающее устройство.

По кругу обслуживаемых объектов различают два вида.

Замкнутые СМО. Замкнутая система массового обслуживания - это система массового обслуживания, в которой обслуженные требования могут возвращаться в систему и вновь поступать на обслуживание. Примерами замкнутой СМО являются ремонтные мастерские, сберегательные банки.

Открытые СМО. Для открытой СМО предполагается, что исходная совокупность на столько велика, что изменение ее размеров, вследствие прибытия или возвращения обслуженной заявки в исходную совокупность не оказывает существенного влияния на вероятность появления очередной заявки. массовый обслуживание математический однофазный

Если приборы обслуживания соединяются параллельно, то такое обслуживание называется однофазным, а если приборы соединяются последовательно, то многофазным, (ряд последовательных операций).

Однофазные СМО - это однородные системы, которые выполняют одну и ту же операцию обслуживания.

Многофазные СМО - это системы, в которых каналы обслуживания расположены последовательно и выполняют различные операции обслуживания. Примером многофазной СМО являются станции технического обслуживания автомобилей.

Приведенная классификация СМО является условной. На практике чаще всего СМО выступают в качестве смешанных систем. Например, заявки ожидают начала обслуживания до определенного момента, после чего система начинает работать как система с отказами.

В 1953 году Г. Кендалл предложил стандартные обозначения определений, которые используются исследователями без изменений. Для однофазных СМО символика Кендалла выглядит следующим образом:

A / B / n / m 2.1

Где A и B входной поток и поток обслуживания соответственно,

n - число каналов, n 1,

m - ёмкость накопителя.

Потоки случайных событий могут иметь различный вид:

• - М - экспоненциальное распределение длительностей интервалов поступления заявок или длительностей обслуживания (индекс М от определяющего слова марковский процесс, т.е. такой, когда поведение процесса после момента времени t зависит лишь от состояния процесса в момент времени t и не зависит от поведения до момента времени t),
• - D - детерминированное распределение длительностей интервалов поступления заявок или длительностей обслуживания,
• - Ек - поток Эрланга к - го порядка для длительностей интервалов между приходами заявок или длительностей обслуживания,
• - GI - рекуррентный поток (длительности интервалов статистически независимы и имеют одинаковое распределение),
• - G - общий вид распределения.

Тогда в символах Кендалла вместо А и В подставляется символ одного из упомянутых потоков, например:

M/M/1 - экспоненциальные потоки с одним каналом обслуживания и неограниченной ёмкостью.

D/GI/5/10 - детерминированный входной поток, рекуррентный поток обслуживания, многоканальное СМО с 5 одинаковыми каналами, ёмкость накопителя 10 и т.д.

Сегодня во многих областях практической деятельности человека мы сталкиваемся с необходимостью пребывания в состоянии ожидания. Подобные ситуации возникают в очередях в билетных кассах, в крупных аэропортах, при ожидании обслуживающим персоналом самолетов разрешения на взлет или посадку, на телефонных станциях в ожидании освобождения линии абонента, в ремонтных цехах в ожидании ремонта станков и оборудования, на складах снабженческо-сбытовых организаций в ожидании разгрузки или погрузки транспортных средств. Изучение таких ситуаций относится к задачам теории очередей.

При дальнейшем развитии массового обслуживания применение принципов теории очередей в управлении различного рода организациях является необходимым условием их благополучного функционирования. Если клиенты долго ожидают своей очереди, то они вряд ли будут совершать повторные покупки в универмаге, где им пришлось полчаса ждать, пока их обслужат, так как людям не нравится тратить время на ожидание. Основной целью теории очередей является изучение принципов функционирования системы обслуживания при возникновении очередей и исследование явлений, возникающих в процессе обслуживания.

Время пребывания требования в очереди можно сократить за счет увеличения количества обслуживающих устройств. Однако каждое дополнительное устройство требует определенных материальных затрат, при этом увеличивается время бездействия обслуживающего устройства из-за отсутствия требований на обслуживание, что также является негативным явлением. Следовательно, возникает проблема, каким образом достичь максимального сокращения очереди или потерь требований при минимальных затратах, связанных с простоем обслуживающих устройств.

Понятие теории очередей

Теория очередей в русскоязычной литературе чаще именуется теорией массового обслуживания. Действительно, во многих работах они трактуются как равнозначные, в других – теория очередей рассматривается лишь как раздел теории массового обслуживания, поскольку последней изучаются системы не только с очередями, но и с отказами, например, когда система занята, а очередь требований не образуется, так как им "отказывается" в обслуживании. Термин "массовое" предполагает статистическую устойчивость картины и многократную повторяемость ситуаций в том или ином смысле: много прибывших в систему и обслуженных заявок, большое число находящихся в эксплуатации аналогичных систем.

Теория очередей и теория массового обслуживания используются как равнозначные, так как мы не рассматриваем системы с отказами.

"Теория очередей – раздел прикладной математики, изучающий процессы, связанные с удовлетворением массового спроса на обслуживание, с учетом случайного характера спроса и обслуживания". Сюда относятся системы, предназначенные для обслуживания массового потока требований случайного характера, случайными могут быть как моменты появления требований, так и затраты времени на их обслуживание.

Теория очередей возникла в начале XX в. на базе задач телефонии: требовалось найти способ определения числа телефонных линий, обеспечивающий удовлетворительное обслуживание абонентов. Специфику этой задачи составляет случайный характер моментов, когда абоненты вызывают друг друга, и длительность разговора. Вначале задача решалась эмпирическим путем; затем начала строиться теория, основанная на методах теории вероятностей. Задачи, аналогичные по математической постановке задачам телефонии, возникли при создании предприятий массового обслуживания, аэропортов, дорог автомобильных, при планировании железнодорожных перевозок, запасов продукции и т.п. Во второй половине 60-х гг. теория очередей стала применяться к различным задачам кибернетики: организации взаимодействия вычислительных машин, теории надежности, операций исследованию, радиотехнике, радиолокации и др.

В то же время "теория очередей – раздел исследования операций, который рассматривает разнообразные процессы в экономике, а также в телефонной связи, здравоохранении и других областях, как процессы обслуживания, т.е. удовлетворения каких-то запросов, заказов (напр., обслуживание кораблей в порту – их разгрузка и погрузка, обслуживание токарей в инструментальной кладовой цеха – выдача им резцов, обслуживание клиентов в прачечной – стирка белья и т. д.)".

При всем разнообразии эти процессы имеют общие черты:

Требования на обслуживание нерегулярно (случайно) поступают в канал обслуживания (место у причала, окно в раздаточной);

В зависимости от занятости канала, продолжительности обслуживания и других факторов образуют очередь требований.

Теория очередей изучает статистические закономерности поступления требований и на этой основе вырабатывает решения, т.е. такие характеристики, при которых затраты времени на ожидание в очереди, с одной стороны, и на простой каналов обслуживания – с другой, были бы наименьшими. Так можно рассматривать сумму потерь времени на ожидание в очередях и на простои каналов обслуживания (хранение товаров на складах) как меру эффективности изучаемой экономической системы: чем меньше потери, тем выше эффективность.

"Теория очередей изучает системы, в которых требования, застающие систему занятой, не теряются, а ожидают её освобождения и затем обслуживаются в том или ином порядке, также возможно предоставление приоритета определённым категориям требований".

Выводы теории очередей используют для рационального планирования систем массового обслуживания. Применение методов теории очередей необходимо даже в простейших случаях для правильного понимания статистических закономерностей, возникающих в системах массового обслуживания.

"Система массового обслуживания – объект (предприятие, организация и др.), деятельность которого связана с многократной реализацией исполнения каких-то однотипных задач и операций".

С точки зрения теории очередей это совокупность пунктов, на которые в случайные или неслучайные моменты времени поступают заявки на обслуживание или требования, подлежащие удовлетворению.

"Система массового обслуживания состоит из обслуживаемой и обслуживающей систем. Обслуживаемая система включает совокупность источников требований и входящего потока требований. Обслуживающая система состоит из накопителя и механизма обслуживания".

Система характеризуется следующими параметрами:

Требование/заявка – каждый отдельный запрос на выполнение какой-либо работы.

Входящий поток требований – требования, поступающие от всех источников в обслуживающую систему.

Время обслуживания – время, в течение которого выполняется заявка.

Интерактивность обслуживания – количество требований, обслуживаемых одним каналом в единицу времени.

Блок обслуживания – та часть системы обслуживания, в которую поступает поток требований. Он может состоять из одного или нескольких "приборов", "каналов", под которыми понимаются устройства или люди, осуществляющие обслуживание.

Примеров систем массового обслуживания можно привести очень много. Телефонная сеть: здесь заявка – вызов абонента, обслуживающее устройство – коммутатор. Универсам: заявка в этом случае – приход в магазин покупателя, а обслуживающее устройство – касса.

Можно, правда, рассматривать работу универсама и с противоположных позиций: считать, что кассир, ожидающий покупателя, – это заявка на обслуживание, а обслуживающее устройство – это покупатель, способный удовлетворить заявку, т.е. подойти к кассе с покупками и прекратить вынужденный простой кассира. Возможность такого двойственного подхода является основой для оптимизации структуры исследуемых систем.

Если, например, в магазине работает лишь одна касса, а покупатели заходят часто, то возникнет очередь покупателей, ожидающих обслуживания. Если же, наоборот, покупатели заходят редко, а кассиров несколько, то возникнет очередь кассиров, ожидающих покупателя. В обоих случаях магазин несет потери: в первом случае потому, что не все желающие купить товар будут обслужены, а во втором – потому, что кассиров слишком много и часть фонда их заработной платы будет расходоваться напрасно.

Поэтому, критерием правильности организации работы магазина может служить средняя сумма времени ожидания покупателя и времени ожидания кассира. Работа магазина организована наилучшим образом, если эта величина минимальна.

Задачи теории очередей

"Очередь представляет собой последовательность требований или заявок, которые, заставая систему обслуживания занятой, не выбывают, а ожидают ее освобождения, а затем они обслуживаются в том или ином порядке. Очередью можно назвать также и совокупность ожидающих каналов или средств обслуживания. Это ключевое понятие теории очередей".

Процесс образования очереди носит стохастический характер, так как состоит из случайных переменных, значения которых меняются во времени.

Очереди требований или заявок подразделяются, прежде всего, на замкнутые и линейные.

В первом случае обслуженные требования могут возвращаться в систему и вновь поступать на обслуживание. Например, автомашины, приписанные к определенному парку, могут образовать замкнутую очередь для зарядно-аккумуляторной станции этого парка. Или мастер, задачей которого является наладка станков в цехе, должен периодически их обслуживать. Каждый налаженный станок становится в будущем потенциальным источником требований на еще одну наладку. В подобных системах общее число циркулирующих требований конечно и чаще всего постоянно.

Во втором случае обслуженные требования не возвращаются в систему, например, зарядно-аккумуляторная станция общего пользования на автостраде. Также примерами подобных систем могут служить магазины, кассы вокзалов, портов и др. Для этих систем поступающий поток требований можно считать неограниченным.

Дисциплина обслуживания – совокупность правил, пользуясь которыми, из очереди выбирают требования для обслуживания. По дисциплине обслуживания очереди также подразделяются на ряд видов: живая очередь, очередь с приоритетами, когда отдельным требованиям отдается предпочтение, случайные очереди и т.д.

Также важными параметрами являются длина очереди, т.е. среднее число ожидающих требований, и время ожидания обслуживания – среднее время пребывания требования в системе до момента начала обслуживания.

Задачи теории очередей, сформулированные математически, обычно сводятся к изучению специального типа случайных процессов. Исходя из заданных вероятностных характеристик поступающего потока вызовов и продолжительности обслуживания, теория очередей определяет соответствующие характеристики качества обслуживания: вероятность отказа, среднее время ожидания начала обслуживания, среднее время простоя линий связи и т. д.

Время обслуживания – это время, затрачиваемое системой на обслуживание отдельного требования. Чаще всего длительность обслуживания является случайной величиной и характеризуется максимально возможным временем обслуживания. Это означает, что вероятность того, что время, затраченное на обслуживание требования, не больше чем предельно допустимое время.

Расчет пропускной способности системы подразумевает определение максимального числа требований, которые могут быть обслужены одновременно. Требования обслуживаются с помощью канала обслуживания. Канал обслуживания означает устройство, средство или человека, способное в заданный момент времени обслуживать лишь одно требование. Пропускная способность канала – один из определяющих параметров при решении задач теории очередей. Другой его важнейшей характеристикой является среднее время обслуживания одной заявки.

Доступность системы включает определение всевозможных причин, по которым число требований, удовлетворяемых одновременно, меньше, чем пропускная способность.

Кроме того, вся система может быть время от времени не готова к приему требований, например, обеденный перерыв в магазине, поэтому доступность включает характеристики времени "отключения" системы. Время "отключения" системы чаще всего считают, так же как и длительность обслуживания, случайной величиной и описывают вероятностью того, что канал или вся система отключается на определенное время. Реальные системы часто "неполнодоступны", хотя существуют и "полнодоступные" системы.

Важную роль в выполнении задач теории очередей выполняют модели теории очередей, с помощью которых проектируются модели оптимального обслуживания.

Модель теории очередей или модель оптимального обслуживания используется для определения оптимального числа каналов обслуживания по отношению к потребности в них. К ситуациям, в которых модели теории очередей могут быть полезны, можно отнести звонки людей в авиакомпанию для резервирования места и получения информации, ожидание в очереди на машинную обработку данных, мастеров по ремонту оборудования, очередь грузовиков под разгрузку на склад, ожидание клиентами банка свободного кассира. Если, например, клиентам приходится слишком долго ждать кассира, они могут решить перенести свои счета в другой банк. Подобным образом, если грузовикам приходится слишком долго дожидаться разгрузки, они не смогут выполнить столько поездок за день, сколько положено. Таким образом, одна принципиальная проблема заключается в уравновешивании расходов на дополнительные каналы обслуживания: больше людей для разгрузки грузовиков, больше кассиров, больше клерков, занимающихся предварительной продажей билетов на самолеты. Вторая принципиальная проблема заключается в поддержании потерь от обслуживания на уровне ниже оптимального: грузовики не могут сделать лишнюю остановку из-за задержек под разгрузкой, потребители уходят в другой банк или обращаются к другой авиакомпании из-за медленного обслуживания.

"Основная причина недостатка в каналах обслуживания заключается в краткосрочных изменениях частоты обращения потребителей за обслуживанием, а также времени обслуживания. Это ведет к избыточной пропускной способности в определенные моменты времени и появлению очередей в другие, хотя пропускная способность могла бы быть достаточной, если бы осуществлялся полный контроль за поступлением требований и можно было бы построить соответствующий график".

Модели очередей снабжают руководство инструментом определения оптимального числа каналов обслуживания, которые необходимо иметь, чтобы сбалансировать издержки в случаях чрезмерно малого и чрезмерно большого их количества.

Рассмотрим общую постановку задачи теории очередей в массовом обслуживании.

Имеется некоторая система, предназначенная для обслуживания поступающих в нее заявок или требований. Система располагает определенным количеством рабочих мест или средств обслуживания (каналы обслуживания). Поступление требований в систему и время их обслуживания носят случайный характер. При этом в системе возникают ситуации, когда:

1) либо образуется очередь требований в ожидании обслуживания;

2) либо простаивают каналы обслуживания.

И то и другое приводит к увеличению издержек обслуживания.

Чтобы не допустить неоправданного увеличения издержек, можно:

1) изменить среднее количество требований, поступающих в систему в единицу времени;

2) изменить количество каналов обслуживания;

3) изменить оба параметра.

Задачи теории очередей рассматриваются для действующих и проектируемых систем.

Для действующих систем дают количественную оценку функционирования системы и ее отдельных элементов, на основании которой принимают решения, направленные на совершенствование работы системы и улучшение ее организации.

Для проектируемых систем определяют ее оптимальные качественные и количественные характеристики:

1. Оптимальное количество каналов обслуживания.

2. Вероятность возникновения нежелательных ситуаций (простой каналов обслуживания, простой требований в очереди).

Таким образом, в любом из двух случаев модель задачи массового обслуживания включает в себя:

Поток заявок;

Каналы обслуживания;

Организацию очереди и дисциплину обслуживания;

Показатели эффективности.

Рассмотрим данные элементы задачи теории очередей.

Входящий поток требований представляет собой последовательность требований, поступающих в канал обслуживания. Требования возникают случайно и требуют определенного, обычно заранее точно не предсказуемого времени для их удовлетворения.

В большинстве случаев входящий поток неуправляем и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является также интервал времени между соседними поступающими требованиями. Однако среднее количество требований, поступивших в единицу времени, и средний интервал времени между соседними поступающими требованиями предполагаются заданными.

Поток заявок однороден, если все заявки равноправны и рассматриваются только моменты времени поступления заявок, т.е. факты заявок без уточнения деталей каждой конкретной заявки.

В простейшем случае вероятность появления требования в любой малый промежуток времени пропорциональна длине этого промежутка и не зависит от того, возникали или нет требования в предшествующие промежутки времени.

Простейший поток важен по следующим причинам:

1. Сумма конечного числа независимых простейших потоков образует простейший поток с интенсивностью, равной сумме интенсивностей составляющих.

2. Сумма независимых стационарных потоков с ограниченным последействием при условии малой интенсивности составляющих в сравнении с суммарной интенсивностью при условии, что сумма потоков стремится к бесконечности, сходится к простейшему потоку.

3. Случайное прореживание произвольного стационарного ординарного потока с ограниченным последействием, т.е. выбрасывание каждого очередного требования независимо с некоторой вероятностью, при увеличении вероятности выбрасывания приближает поток к простейшему.

4. Вероятность наступления события простейшего (и только простейшего) потока на малом интервале времени пропорциональна продолжительности этого интервала и не зависит от его времени наступления интервала и его окончания, что дает колоссальные расчетные преимущества.

С его помощью возможно спроектировать модели, описывающие положение системы без учета других факторов.

Указанные свойства наблюдаются часто, но не всегда. Например, интенсивность потока заявок может зависеть от времени суток или года, заявки могут поступать группами постоянного или случайного объема. В случае неординарного потока требований в виде "пачек" постоянного объема удобнее переходить к ординарному потоку групповых заявок.

На практике условия простейшего потока не всегда строго выполняются. Часто имеет место нестационарность процесса: в различные часы дня и различные дни месяца поток требований может меняться, он может быть интенсивнее утром или в последние дни месяца. Существует также наличие последействия, когда количество требований на отпуск товаров в конце месяца зависит от их удовлетворения в начале месяца. Наблюдается и явление неоднородности, когда несколько клиентов одновременно пребывают на склад за материалами.

Входящий поток требований называется стационарным, если вероятность поступления определенного числа требований за какой-то промежуток времени определяется только величиной этого промежутка и не зависит от момента его начала. Если требования могут поступать в систему только по одному, то такой поток называется ординарным. Если числа поступающих за разные промежутки времени заявок взаимно независимы – это поток без последействия.

Если требования поступают в определенные моменты времени, то говорят о дискретном входящем потоке. Системы с такими потоками наиболее распространены. К их числу относятся, например, телефонная сеть, универсам. Встречаются и системы с непрерывным входящим потоком. Примером может служить газгольдер, в который непрерывно поступает газ, причем снятие с хранения, так как в данном случае именно это и является обслуживанием, может осуществляться как дискретно, ведь газ может требоваться отдельными порциями, так и непрерывно.

Если в систему может поступить одновременно только конечное число требований, входящий поток называется ограниченным; в противоположном случае – неограниченным. Например, если ремонтная бригада обслуживает участок из 30 станков, то число требований – отказов станков – не может быть одновременно более 30, а в задаче о нагрузке телефонной сети входящий поток обычно можно считать неограниченным.

Системы обслуживания по числу установленных устройств делятся на одно- и многоканальные. Количество требований, одновременно могущих находиться на обслуживании, не превышает числа каналов. В многоканальной системе массового обслуживания поступившее требование может быть обслужено одним из нескольких каналов, входящих в блок обслуживания. Каналы могут быть однородными, специализированными по типам заявок, различающимися интенсивностью обслуживания и т.п.

Заявки, пришедшие в занятую систему, не могут быть обслужены немедленно и образуют очередь. Очередь может быть ограничена максимальной длиной или максимальным временем пребывания в ней. Примером задачи с временным ограничением является прибытие на стройку самосвала с бетонной смесью. При нарушении ограничения заявка получает отказ. Введение ограничения автоматически исключает очень большие задержки, но связано с дополнительными "штрафами" за отказ в обслуживании.

Вновь прибывшая заявка в зависимости от организации и назначения системы становится либо в конец очереди (дисциплина FCFS: First Come – First Served), либо в ее начало (LCFS: Last Come – First Served). Последний вариант иначе называется стековым ("магазинным") принципом.

При неоднородных заявках может вводиться приоритетное обслуживание. В этом случае заявки выстраиваются в несколько очередей, и в освободившийся канал поступает заявка из непустой очереди с наивысшим приоритетом. В некоторых ситуациях (абсолютный приоритет)

Наиболее важными показателями эффективности системы являются:

1. вероятность отказа в приеме заявки на обслуживание;

2. вероятность нулевого ожидания, т.е. вероятность того, что требование будет обслужено сразу после поступления в систему;

3. время пребывания заявки в системе;

4. время ожидания начала обслуживания;

5. длина очереди;

6. распределение и моменты длительности непрерывной занятости системы.

Также системы оценивают по характеристикам распределения времени пребывания. Характеристики ожидания и, в частности, его средняя длительность отражают цену, которую клиент должен заплатить за совместное с другими клиентами использование обслуживающей системы.

Использование теории очередей при создании систем массового обслуживания в коммерческой деятельности

Природа массового обслуживания, особенно в такой сфере, какой является коммерческая деятельность, весьма тонка и сложна. Коммерческая деятельность связана с выполнением множества операций на этапах движения товарной массы из сферы производства в сферу потребления. Такими операциями являются погрузка товаров, перевозка, разгрузка, хранение, обработка, фасовка, реализация. Кроме этих операций процесс движения товаров сопровождается большим количеством предварительных, подготовительных, сопутствующих, параллельных и последующих операций с платежными документами, тарой, деньгами, автомашинами, клиентами и т.п.

Для перечисленных фрагментов коммерческой деятельности характерны массовость поступления товаров, денег, посетителей в случайные моменты времени, затем их последовательное обслуживание (удовлетворение требований, запросов, заявок) путем выполнения соответствующих операций, время выполнения которых носит также случайный характер. Все это создает неравномерность в работе, порождает недогрузки, простой и перегрузки в коммерческих операциях. Много неприятностей доставляют очереди, например, посетителей в кафе, столовых, ресторанах, водителей автомобилей на товарных базах, ожидающих разгрузки, погрузки или оформления документов. В связи с этим возникают задачи анализа существующих вариантов выполнения всей совокупности операций, например, торгового зала супермаркета, ресторана или в цехах производства собственной продукции для целей оценки их работы, выявления слабых звеньев и резервов для разработки в конечном итоге рекомендаций, направленных на увеличение эффективности коммерческой деятельности.

Кроме того, возникают другие задачи, связанные с созданием, организацией и планированием нового экономичного, рационального варианта выполнения множества операций в пределах торгового зала, кондитерского цеха, всего производства ресторана, кафе, столовой, планового отдела, бухгалтерии, отдела кадров и др.

Роль заявок в коммерческой деятельности выполняют товары, посетители, деньги, ревизоры, документы, а роль каналов обслуживания – продавцы, администраторы, повара, кондитеры, официанты, кассиры, товароведы, грузчики, торговое оборудование и др. Важно заметить, что в одном варианте, например, повар в процессе приготовления блюд является каналом обслуживания, а в другом – выступает в роли заявки на обслуживание, например, к заведующему производством за получением товара.

Заявки в силу массовости поступления на обслуживание образуют потоки, которые до выполнения операций обслуживания называются входящими, а после возможного ожидания начала обслуживания, т.е. простоя в очереди, образуют потоки обслуживания в каналах, а затем формируется выходящий поток заявок. В целом совокупность элементов входящего потока заявок, очереди, каналов обслуживания и выходящего потока заявок образует простейшую одноканальную систему массового обслуживания – СМО, структурная модель которой представлена на рис. 1.

Под системой понимается совокупность взаимосвязанных и целенаправленно взаимодействующих частей (элементов). Примерами таких простейших СМО в коммерческой деятельности являются места приема и обработки товаров, узлы расчета с покупателями в магазинах, кафе, столовых, рабочие места экономиста, бухгалтера, коммерсанта, повара на раздаче и т.д.

Рисунок 1. Структурная модель одноканальной системы массового обслуживания

Процедура обслуживания считается завершенной, когда заявка на обслуживание покидает систему. Продолжительность интервала времени, требуемого для реализации процедуры обслуживания, зависит в основном от характера запроса заявки на обслуживание, от состояния самой обслуживающей системы и канала обслуживания.

Действительно, продолжительность пребывания покупателя в супермаркете зависит, с одной стороны, от личностных качеств покупателя, его запросов, от ассортимента товаров, который он собирается приобрести, а с другой – от формы организации обслуживания и обслуживающего персонала, что может значительно сократить пребывание покупателя в супермаркете и повысить интенсивность обслуживания. Например, овладение кассирами-контролерами работы "слепым" методом на кассовом аппарате позволило увеличить пропускную способность узлов расчета в 1,3 раза и сэкономить время, затрачиваемое на расчеты с покупателями по каждой кассе, более чем на 1,5 ч в день. Внедрение единого узла расчета в универмаге дает следующие ощутимые преимущества покупателю. Так, если при традиционной форме расчетов время обслуживания одного покупателя составляло в среднем 1,5 мин, то при введении единого узла расчета – 67 с. Из них 44 с уходят на оформление покупки в секции и 23 с непосредственно на расчеты за покупки при выходе из магазина. Если покупатель делает несколько покупок в разных секциях, то потери времени сокращаются при приобретении двух покупок в 1,4 раза, трех – в 1,9, пяти – в 2,9 раза.

Задачи организации массового обслуживания возникают практически во всех сферах коммерческой деятельности, например, обслуживание продавцами покупателей в магазинах, обслуживание посетителей на предприятиях общественного питания, обслуживание клиентов на предприятиях бытового обслуживания, обеспечение телефонных разговоров на телефонной станции, оказание медицинской помощи больным в поликлинике и т.д. Во всех приведенных примерах возникает необходимость в удовлетворении некоторой потребности большого числа потребителей.

Любой запрос на удовлетворение какой-либо потребности является заявкой или требованием. Например, заявками, нуждающимися в обслуживании, являются покупатели в магазинах, заявки на телефонные разговоры, заявки на получение товара и т.д.

Под обслуживанием заявок понимается удовлетворение потребности. Обслуживание в приведенных примерах имеет различный характер по своей природе. Однако во всех примерах поступившие заявки нуждаются в обслуживании со стороны какого-либо устройства. В некоторых случаях обслуживание производится одним человеком (обслуживание покупателя одним продавцом в одной секции магазина), в некоторых – группой людей (обслуживание больного врачебной комиссией в поликлинике), а в некоторых случаях – техническими устройствами (продажа газированной воды, бутербродов автоматами). Совокупность средств, которые осуществляют обслуживание заявок, называется каналом обслуживания.

Если каналы обслуживания способны удовлетворить одинаковые заявки, то каналы обслуживания называются однородными. Совокупность однородных каналов обслуживания называется обслуживающей системой.

В систему массового обслуживания поступает большое количество заявок в случайные моменты времени, длительность обслуживания которых также является случайной величиной. Последовательное поступление заявок в систему обслуживания называется входящим потоком заявок, а последовательность заявок, покидающих систему обслуживания, – выходящим потоком.

Случайный характер распределения длительности выполнения операций обслуживания наряду со случайным характером поступления требований на обслуживание приводит к тому, что в каналах обслуживания протекает случайный процесс, который может быть назван (по аналогии с входным потоком заявок) потоком обслуживания заявок или просто потоком обслуживания.

Заявки, поступающие в систему обслуживания, могут покинуть ее и будучи необслуженными. Например, если покупатель не найдет в магазине нужный товар, то он покидает магазин, будучи необслуженным. Покупатель может покинуть магазин также, если нужный товар имеется, но большая очередь, а покупатель не располагает временем.

Теория массового обслуживания занимается изучением процессов, связанных с массовым обслуживанием, разработкой методов решения типичных задач массового обслуживания.

При исследовании эффективности работы системы обслуживания важную роль играют различные способы расположения в системе каналов обслуживания.

При параллельном расположении каналов обслуживания требование может быть обслужено любым свободным каналом. Примером такой системы обслуживания является расчетный узел в магазинах самообслуживания, где число каналов обслуживания совпадает с числом кассиров-контролеров.

На практике часто обслуживание одной заявки осуществляется последовательно несколькими каналами обслуживания. При этом очередной канал обслуживания начинает работу по обслуживанию заявки после того, как предыдущий канал закончил свою работу. В таких системах процесс обслуживания носит многофазовый характер, обслуживание заявки одним каналом называется фазой обслуживания. Например, если в магазине самообслуживания имеются отделы с продавцами, то покупатели сначала обслуживаются продавцами, а потом уже кассирами-контролерами.

Организация системы обслуживания зависит от воли человека. Под качеством функционирования системы в теории массового обслуживания понимают не то, насколько хорошо выполнено обслуживание, а то, насколько полно загружена система обслуживания, не простаивают ли каналы обслуживания, не образуется ли очередь.

В коммерческой деятельности заявки, поступающие в систему массового обслуживания, выступают с высокими претензиями еще и на качество обслуживания в целом, которое включает не только перечень характеристик, исторически сложившихся и рассматриваемых непосредственно в теории массового обслуживания, но и дополнительные характерные для специфики коммерческой деятельности, в частности отдельных процедур обслуживания, требования к их уровню которые к настоящему времени сильно возросли. В связи с этим необходимо учитывать еще и показатели коммерческой деятельности.

Работу системы обслуживания характеризуют такие показатели, как время ожидания начала обслуживания, длина очереди, возможность получения отказа в обслуживании, возможность простоя каналов обслуживания, стоимость обслуживания и в конечном итоге удовлетворение качеством обслуживания, которое еще включает показатели коммерческой деятельности. Чтобы улучшить качество функционирования системы обслуживания, необходимо определить, каким образом распределить поступающие заявки между каналами обслуживания, какое количество каналов обслуживания необходимо иметь, как расположить или сгруппировать каналы обслуживания или обслуживающие аппараты для обслуживания и улучшения показателей коммерческой деятельности.

Использование теории очередей в системе дистанционного образования при расчете оптимальной пропускной способности системы

В вопросах ценообразования в сфере дистанционного образования (ДО) вполне очевидной выглядит необходимость расчета оптимальной пропускной способности самой системы ДО, обусловленной технологическими ограничениями системы, как то суммой ставок профессорско-преподавательского состава (ППС) для каждого курса отдельной специальности, учебным планом и т.п., т.е. в самом общем случае трудоемкостью учебного процесса. Отталкиваясь от оптимальной пропускной способности можно рассчитать нижний предел себестоимости услуг ДО, что в дальнейшем окажется необходимым для сравнительного анализа цены в сопоставлении с потребительской и конкурентной ценами.

Сначала коротко рассмотрим самый очевидный метод расчета предельно допустимого количества ст. в системе (как параметра пропускной способности системы), основанный на простом арифметическом выражении, учитывающем производственные возможности научно-педагогического потенциала вуза.

Технологические возможности процесса оказания услуг ДО ограничиваются трудоемкостью учебно-методического сопровождения. Последняя инициатива Минобразования РФ, касающаяся установления нормативов численности студентов в расчете на единицу ППС, относится к формированию в 1999 г. рабочей группы (Приказ от 14.05.99 N 1302), по результатам деятельности которой подготовлен отчет, не нашедший, однако, практической реализации. Тем не менее, данные исследования позволяют рассматривать следующие соотношения численности студентов для вузов:

Студенты очной формы – 1:10

Студенты очно-заочной формы – 1:18,75

Студенты заочной формы – 1:43,75

Студенты-иностранцы – 1:7,50

Аспиранты очной формы – 1:7,50

Аспиранты заочной формы – 1:10

Слушатели ФПК и ИППК – 1:7,50

Слушатели подготовительных отделений – 1:10

Ординаторы – 1:3,75

Интерны – 1:5.

Для целей нашей работы остановимся, например, на соотношении, предложенном для студентов заочной формы обучения, т.е. 43,75 студента на единицу ППС.

Следовательно, взяв за основу текущую обеспеченность трудовыми ресурсами учебного процесса дистанционного образования, и опираясь на предложенные нормативы, исходя из данных учебного плана для курса специальности (i), рассчитываем среднюю нагрузку на единицу ППС (для заочной формы обучения):

Q_i = численность_i ППС \xx 43,75\xx ((ЧаГ – ЧаСР)/ЧаКП, согл.учебному плану_i) (1)

ЧаГ – число академических часов в году (исследуемом периоде),

ЧаСР – число академических часов, предусмотренных для самостоятельной работы студента, согласно учебного плана,

ЧаКП – число академических часов, предусмотренных для консультаций с преподавателями, согласно учебного плана.

В расчетах принимает участие численность ППС с полной рабочей ставкой, иначе говоря сумма ставок ППС по данной специальности, т.е. она необязательно выступает целым числом. Отметим, что необходимо соблюдать единообразие в формулировках относительно академических и рабочих часов. В числителе введено выражение для расчета суммы академических часов для периода, в течение которого студент может обратиться за консультацией к преподавателю. Поясним его.

Ключевым нормативным ведомственным актом, направленным на правовое регулирование дистанционного образования, является Приказ Минобразования РФ от 18 декабря 2002 г. № 4452 "Об утверждении Методики применения дистанционных образовательных технологий (дистанционного обучения) в образовательных учреждениях высшего, среднего и дополнительного профессионального образования Российской Федерации". Он прямо указывает на обязанность образовательного учреждения обеспечивать каждому обучающемуся возможность доступа к средствам дистанционного обучения и основному информационному ресурсу в объеме часов учебного плана, необходимых для освоения соответствующей образовательной программы или ее части, независимо от формы обучения (очная, вечерняя, заочная) (п.11). Из этого выражения (1) перейдем к следующему равенству:

Q_i/(Ч_а Г – Ч_а СР) = (численность_i ППС \xx 43,75)/ЧаКП, согл.учебному плану_i (2)

Отношение в левой части равенства является, фактически, средней интенсивностью потока заявок в системе массового обслуживания, в дальнейшем станем обозначать его через λ. Отношение в правой части равенства представляет собой интенсивность обслуживания, в дальнейшем обозначаемую через μ. При выполнении условия:

((\r = \l /\m)) <= 1 (3), где

ρ – т.н. коэффициент загрузки системы, система работает в стационарном режиме. В стационарном режиме среднее число заявок в СМО постоянно, поэтому среднее число заявок, приходящих в СМО в единицу времени, равно среднему числу заявок, в единицу времени, уходящих из СМО. Следовательно, в стационарном режиме интенсивность потока уходящих заявок равна λ. Коэффициент загрузки ρ в стационарном режиме есть:

а) среднее значение той части единицы времени, в течение которой канал занят;

б) вероятность того, что канал занят;

в) среднее число заявок в канале.

Именно с этого момента мы начинаем говорить о механизме ДО, как о системе массового обслуживания и вносим при этом некоторые специфические поправки в выражения.

Рассматриваемая система относится к виду многоканальных (по числу дисциплин) СМО с очередью (ожиданием). В принятой системе обозначений она выглядит как M|M|n, т.е. система с n каналов обслуживания (количества дисциплин согласно учебного плана), в которой закон распределения вероятностей для входящего потока заявок и обслуживания является экспоненциальным.

Поскольку мы рассматриваем в качестве каналов обслуживания не штатную единицу ППС, а именно дисциплину, то логично будет записать следующее выражение для λ:

\l = n\xx (Q_i/(ЧаГ – ЧаСР)) (4), где

n – число дисциплин, согласно учебного плана. Т.е. в нашем случае мы рассматриваем каждого студента как источник n заявок, которые могут занимать систему. Это имеет смысл, поскольку, в частности, мы принимаем значение μ за среднее и рассматриваем пропускную способность канала относительно единовременного запроса студента, а не совокупности таких запросов, что было бы некорректно.

Для многоканальной СМО \r = \l \xx Т_обсл/n (5), где

Тобсл есть среднее время обслуживания канала, или. Его значение также должно удовлетворять выражению стационарности (3).

L = \b_0 \xx ((\l Т_обсл)^(n+1)/(n!n(1-\l Т_обсл/n)^2)) (6), где

где β0 – стационарная вероятность того, что в СМО нет заявок. Эта вероятность определяется в виде:

\b_0 = 1/((\l Т_обсл)^n/n!(1-\l Т_обсл/n)+sum(m=0,n-1, (\l Т_обсл)^m/m!)) (7)

Варьируя численность студентов в системе, мы получаем закон распределения длины очереди, представленный, например, на рисунке 2.

Рисунок 2. Зависимость средней длины очереди L в системе дистанционного образования от количества студентов Qi.

Следует обратить внимание, что предельное значение Qi отнюдь не выражает оптимального состояния системы с т.з. удовлетворения качественных потребностей потребителя услуг. Действительно, мы замечаем, что длина очереди, и, следовательно, время ожидания заявки в системе заметно прогрессирует при, достигая недопустимых значений. Однако появляется возможность выбора того оптимального значения Qi, при котором потребитель будет удовлетворен режимом обслуживания. С точки зрения маркетинга ДО, этот показатель будет важен не только при калькуляции себестоимости и последующего ценообразования, но и при анализе технологических возможностей конкурентов.

Использование методов теории очередей в маркетинговых исследованиях в области дистанционного образовании выглядит достаточно целесообразным.

Литература

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М: Высшая школа, 2003.

2. Грачева М.В. Моделирование экономических процессов. – М.: Юнити-Дана, 2005 г.

3. Касамин Н.С. Элементы теории и практики управления очередями в организациях. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2003.

4. Косоруков О.А. Исследование операций. – М.: Экзамен, 2005.

5. Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование. – М.: Высшая школа, 2004.

6. Рыжиков Ю.И. Теория очередей и управление запасами. – СПб: Питер, 2004.

7. Соломенцев Ю.М.Технологические основы гибких производственных систем. – М.: Вузовский учебник, 2007 г.

8. Уткин В.Б., Балдин К.В. Информационные системы и технологии в экономике. – М.: Юнити, 2005.

9. Фомин Г.П., Математические методы и модели в коммерческой деятельности. – М: Финансы и статистика, 2004.

10. Хемди А. Введение в исследование операций. – М.: Вильямс, 2004.

11. Шапкин, А.С. Мазаева Н.П. Математические методы и модели исследования операций. – М.: Дашков и К, 2004.

12. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.

Очередь грузовиков под разгрузку на склад, ожидание клиентами банка свободного кассира. Если, например, клиентам приходится слишком долго ждать кассира, они могут решить перенести свои счета в другой банк. Подобным образом, если грузовикам приходится слишком долго дожидаться разгрузки, они не смогут выполнить столько ездок за день, сколько положено. Таким образом, принципиальная проблема заключается в уравновешивании расходов на дополнительные каналы обслуживания (больше людей для разгрузки грузовиков, больше кассиров, больше клерков, занимающихся предварительной продажей билетов на самолеты) и потерь от обслуживания на уровне ниже оптимального (грузовики не могут сделать лишнюю остановку из-за задержек под разгрузкой, потребители уходят в другой банк или обращаются к другой авиакомпании из-за медленного обслуживания).  

Теория игр - это метод, используемый для оценки влияния какого-либо действия на конкурентов. Моделями теории очередей можно пользоваться в соответствии со спросом на них. Модели управления запасами помогают руководителю синхронизировать размещение заказов на ресурсы и оптимизировать их объемы, а также определять оптимальное для склада количество готовой продукции . Модели линейного программирования позволяют установить оптимальный способ распределения дефицитных ресурсов между конкурирующими потребностями в них. Имитационное моделирование - это использование устройства, которое имитирует реальный мир. В экономическом анализе используется ряд методов для определения экономического положения организации или осуществимости действия с экономической точки зрения.  

Настоятельная потребность маркетинга и. предпринимательства в целом в полном и объективном освещении рыночных процессов , в достоверном предсказании возможного развития рынка. Понятие маркетингового исследования , его роль в бизнесе и удовлетворении информационно-аналитических потребностей маркетинга. Место маркетингового исследования в разработке стратегии маркетинга , планировании маркетинга и его контроллинге. Предмет и объекты маркетингового исследования . Цели маркетингового исследования . Принципы маркетингового исследования . Два направления маркетингового исследования формализация и качественные оценки. Достоинства и недостатки каждого из них. Возможности их консолидации. Основы методологии маркетингового исследования . Особая роль статистики и эконометрики в маркетинговых исследованиях . Теория массового обслуживания (теория очередей). Понятие статистического банка (набора статистических приемов обработки информации).  

Данный метод также предусматривает разложение проблемы на части и изучение каждой из них. Важным инструментом данного метода является разработка и проигрывание с использованием количественных методов и компьютеров различных моделей решения. Разработаны и используются модели с привлечением системного подхода , исследования операций , теории игр, теории очередей, уп-  

В 60-е гг. широко применялась такая техника планирования , как оперативное исследование. Речь идет об использовании научной техники управления для анализа проблемы и оценки возможных решений. Сюда входят теория очередей, игр, имитационное моделирование . Применение той или иной модели в процессе планирования зависит от накопления и анализа объективной информации. Предполагается, что информация должна поступать в каналы управления в достаточном объеме и в нужное время. Это самый ценный актив организации.  

К числу важнейших инструментов и методов исследования операций относятся теория вероятности , метод обратных связей , линейное программирование , символическая логика, теория информации и связей, теория очередей, теория игр, теория поисков.  

Изложенные обстоятельства позволяют для моделирования науки в регионе использовать математический аппарат теории очередей. Согласно этой теории, науку можно считать системой массового обслуживания (СМО). СМО, как известно, называется любая система, предназначенная для обслуживания каких-либо заявок, поступающих в нее в случайные моменты времени.  

Теория очередей позволяет находить вероятности различных состояний СМО, а также устанавливать зависимости между заданными параметрами (числом каналов п, интенсивностью потока заявок Я, распределением времени обслуживания и т.д.) и характеристиками эффективности работы СМО. В качестве таких характеристик могут рассматриваться следующие  

Усовершенствуем формулы теории очередей применительно к специфике науки. Условия существования стационарного режима, по мнению автора, будут иметь место при следующих обстоятельствах  

Читатель найдет здесь доступное описание основных экономико-математических методов , построенных как на традиционном аппарате математики и логики, известном из школьных программ (дроби, проценты, уравнения, прогрессии, геометрические и логические задачи), так и на основе методов исследования операций - современном математическом аппарате , специально созданном для решения тех задач, с которыми элементарная математика не справляется. Это методы оптимизации (линейное, нелинейное и динамическое программирование), теория вероятностей и математическая статистика , теория массового обслуживания (теория очередей), метод статистических испытаний (Монте-Карло), теория игр и статистических решений, сетевое планирование.  

Наряду с элементарной математикой и логикой рассматриваются также задачи, требующие применения аппарата высшей математики, особенно в теории вероятностей и математической статистике , а также в таких сравнительно молодых методах, как математическое программирование (линейное, нелинейное, динамическое), теория игр и статистических решений, теория массового обслуживания (теория очередей), метод статистических испытаний (Монте-Карло), сетевое планирование.  

Если при поступлении очередной заявки все имеющиеся каналы (аппараты) оказываются занятыми, происходит сбой в обслуживании и начинает образовываться очередь. Поэтому теорию массового обслуживания называют также теорией очередей.  

Центральным понятием теории очередей является функция стоимости, равная  

Если величина N больше 1, вычисления приобретают более сложный характер. Общая формула приведена в Приложении 1, где также обсуждаются другие проблемы теории очередей. Для JV, равных 2 и 3, формулы выглядят следующим образом  

В этой главе рассмотрены различные аспекты выбора места и планировки производственных площадей . Сокращение денежных, трудовых, временных и иных затрат возможно на основе определения общей производственной мощности , а для сферы услуг - использования теории очередей (массового обслуживания) для нахождения оптимального баланса между объемом простаивающего оборудования и временем ожидания покупателя в очереди.  

В русскоязычной литературе теория очередей иногда называется теорией массового обслуживания.  

Применение М. М.-К. можно проиллюстрировать примером из области теории очередей. Предположим, надо определить, как часто и как долго придется ждать покупателям в очереди в магазине при заданной его пропускной способности (допустим, для того, чтобы принять решение , следует ли расширять магазин). Подход покупателей носит случайный характер, распределение времени подхода (так можно назвать промежуток времени между каждыми двумя приходами покупателей) может быть установлено из имеющейся информации. Время обслуживания покупателей тоже носит случайный характер, и его распределение тоже может быть выявлено. Таким образом, имеются два стохастических или случайных процесса , взаимодействие которых и создает очередь.  

Следует сказать и о терминах "Т.м.о." и "теория очередей". Во многих работах они трактуются как равнозначные, в других - теория очередей рассматривается лишь как раздел Т.м.о., поскольку последней изучаются системы не только с очередями, но и с отказами (напр., когда телефонная станция занята, очередь абонентов не образуется), а также некоторые иные.  

Рыжиков Ю.И. Теория очередей и управление запасами . -СПб. Питер, 2001.-384 с.  

Статистика - наука, изучающая массовые явления и процессы, поддающиеся количественному измерению, позволяющая выявлять тенденции и закономерности общественного развития, определять пропорции и оценивать колеблемость. Эконометрия -применение экономико-математических методов анализа , измерение параметров математических выражений, характеризующих определенную социально-экономическую концепцию, моделирование сложных, многомерных процессов и явлений. Достаточно широко в маркетинге используются методы линейного и динамического программирования , приемы теории массового обслуживания (теории очередей), теории принятия решений (теории риска), теории связей (сигнальной информации о процессах, выходящих за пределы установленных параметров). Социометрия - характеристика структуры и функционирования определенных человеческих групп с помощью количественных оценок . Квалиметрия - методология количественных оценок качества товаров . Бихевиоризм - наука о вкусах и предпочтениях людей, которая помогает разобраться в процессах формирования и изме-  

Часто бывает, что запросы на обслуживание отдельных клиентов или заказы индивидуальных покупателей продукции поступают в систему случайным образом. Это так называемая проблема случайных клиентов. Единственный путь, который позволяет удовлетворять таких заказчиков, если накопление продукции и ожидание клиентов исключается, это составление внешнеориентированного расписания в сочетании с общим избытком мощности системы (избытком всех ее ресурсов). На практике такое расточительное резервирование встречается редко и поэтому части заказчиков, обращающихся в систему, приходится либо предлагать ожидание, либо отказывать, неся при этом определенные экономические             Управление качеством (1974) -- [